في الدرس الماضي، فهمنا أن الدالة هي قاعدة تربط كل مدخل (من النطاق) بمخرج وحيد (من المدى). الآن، سنتعلم كيف 'نرى' هذه القاعدة مرسومة أمامنا. هذا الرسم يسمى 'بيان الدالة'.
🤔 ما هو بيان الدالة؟
تخيل أن لديك دالة $\ar{d}$ تربط بين مجموعتين $\ar{s}$ (النطاق) و $\ar{y}$ (النطاق المصاحب). لكل عنصر $\ar{s}$ في النطاق، الدالة تعطيه صورة وحيدة $\ar{y = d(s)}$. الزوج المرتب $\ar{(s, y)}$ هو ثمرة هذه العملية.
بيان الدالة $\ar{d}$ هو ببساطة مجموعة كل هذه الأزواج المرتبة $\ar{\{(s, y) : y = d(s)\}}$ ممثلة كنقاط في المستوى الإحداثي ($\ar{s, y}$).
- إذا كان النطاق مجموعة منتهية (مثل $\ar{\{1, 2, 3\}}$)، يكون البيان مجموعة منفصلة من النقاط.
- إذا كان النطاق مجموعة غير منتهية (مثل كل الأعداد الحقيقية)، يكون البيان عادةً خطاً مستقيماً أو منحنى متصلاً.
🧐 لماذا نرسم الدوال؟
الرسم البياني يعطينا فهماً بصرياً سريعاً لسلوك الدالة:
- كيف تتغير قيمة المخرج ($\ar{y}$) بتغير المدخل ($\ar{s}$)؟ (هل تزيد؟ تنقص؟ ثابتة؟)
- هل هناك قيمة عظمى أو صغرى للدالة؟
- أين تتقاطع الدالة مع المحاور؟
📏 اختبار الخط الرأسي: طريقة سهلة لمعرفة إذا كان الرسم يمثل دالة
تذكر الشرط الثاني للدالة: لكل مدخل $\ar{s}$، يجب أن يكون المخرج $\ar{y}$ وحيداً. كيف نتحقق من هذا الشرط بصرياً من الرسم؟
ببساطة: ارسم أي خط رأسي يقطع الرسم.
- إذا كان أي خط رأسي يقطع الرسم في نقطة واحدة على الأكثر، فإن هذا الرسم يمثل دالة. (لأن لكل $\ar{s}$ قيمة $\ar{y}$ واحدة فقط).
- إذا وجد خط رأسي واحد على الأقل يقطع الرسم في أكثر من نقطة، فإن هذا الرسم لا يمثل دالة. (لأن هناك قيمة $\ar{s}$ لها أكثر من صورة $\ar{y}$).
📊 مثال (من الكتاب):
- الخط المستقيم المائل ($\ar{y = s + 1}$): يمثل دالة (أي خط رأسي يقطعه مرة واحدة).
- القطع المكافئ ($\ar{y = s^2}$): يمثل دالة (أي خط رأسي يقطعه مرة واحدة).
- الدائرة ($\ar{s^2 + y^2 = 25}$): لا تمثل دالة (الخط الرأسي بين $\ar{s=-5}$ و $\ar{s=5}$ يقطعها مرتين).
- القطع المكافئ الأفقي ($\ar{y^2 = s}$): لا يمثل دالة (الخط الرأسي عند $\ar{s > 0}$ يقطعها مرتين).
هذا الاختبار البصري هو أداة قوية جداً للتحقق السريع.