في الدرس السابق، تعرفنا على 'العلاقات' ورأينا كيف تربط بين مجموعتين. الآن، سنتعرف على نجم لامع في سماء الرياضيات والعلوم: 'الدالة'. قد يبدو الاسم 'دالة' غريباً بعض الشيء وغير مستخدم في حياتنا اليومية بهذا الشكل المؤنث، لكن فكرته بسيطة جداً ونستخدمها دون أن نشعر!
🤔 الدالة... تدل على ماذا؟
كلمة 'دالة' تأتي من الفعل 'دلّ'، أي أرشد أو أشار. وهذا بالضبط ما تفعله الدالة: إنها تدل على قيمة معينة بناءً على قيمة أخرى.
- بطاقة السعر على سلعة تدل على ثمنها. (السعر دالة للسلعة).
- حالة الطقس المتوقعة غداً تدل عليها قراءة مقياس الضغط الجوي اليوم. (الطقس دالة للضغط).
- النتيجة التي تظهر على الآلة الحاسبة تدل على العملية التي أجريتها. (الناتج دالة للعملية والمدخلات).
كل هذه 'دلالات' أو ارتباطات نستخدمها يومياً. كل ما سنفعله الآن هو إعطاؤها اسماً رسمياً وقواعد دقيقة لتصبح أداة قوية في الرياضيات.
💡 لماذا الإنجليزية 'Function'؟
الكلمة الإنجليزية تأتي من اللاتينية وتعني 'أداء' أو 'وظيفة'. يمكنك تخيل الدالة كآلة أو 'موظف' يؤدي مهمة محددة: تعطيه شيئاً (مدخل)، فيقوم بعملية ما ويعطيك شيئاً محدداً بالمقابل (مخرج).
🚦 من العلاقة إلى الدالة: شرطان بسيطان
الدالة هي نوع خاص ومنظم جداً من العلاقات. لكي نطلق على علاقة ما اسم 'دالة'، يجب أن تحقق شرطين منطقيين (مستوحيان من فكرة 'الآلة' أو 'الدليل'):
- لكل مدخل، يجب أن يكون هناك مخرج: الآلة يجب أن تعمل لكل المدخلات المسموحة. لا يمكن أن تتعطل عند إدخال قيمة معينة من نطاق عملها. (رياضياً: النطاق = المجموعة الأولى $\ar{s}$ بأكملها).
- لكل مدخل، يجب أن يكون المخرج وحيداً: الآلة يجب أن تعطي نفس النتيجة كل مرة لنفس المدخل. لا يمكن أن تعطيك نتيجتين مختلفتين لنفس الإدخال. (رياضياً: لكل $\ar{s}$، يوجد $\ar{y}$ واحدة فقط).
📜 التعريف الرياضي الرسمي:
لتكن $\ar{s}$، $\ar{y}$ مجموعتين غير خاليتين. يقال عن العلاقة $\ar{d}$ من $\ar{s}$ إلى $\ar{y}$ إنها دالة إذا تحقق الشرطان التاليان معاً:
- لكل عنصر $\ar{s \in s}$، يوجد عنصر $\ar{y \in y}$ بحيث الزوج المرتب $\ar{(s, y) \in d}$. (النطاق = $\ar{s}$)
- لكل عنصر $\ar{s \in s}$، إذا كان $\ar{(s, y_1) \in d}$ و $\ar{(s, y_2) \in d}$، فإن هذا يستلزم بالضرورة أن $\ar{y_1 = y_2}$. (لكل $\ar{s}$ صورة وحيدة $\ar{y}$)
الرمز: نكتب $\ar{d: s \rightarrow y}$ للتعبير عن أن $\ar{d}$ دالة من $\ar{s}$ إلى $\ar{y}$.
الصورة: إذا كان $\ar{(s, y) \in d}$، نكتب $\ar{y = d(s)}$ ونقول أن $\ar{y}$ هي 'صورة' $\ar{s}$ بواسطة الدالة $\ar{d}$. الشرط الثاني يضمن أن هذه الصورة 'وحيدة'.
🎯 المصطلحات:
- المجموعة $\ar{s}$ تسمى نطاق الدالة (Domain).
- المجموعة $\ar{y}$ تسمى النطاق المصاحب للدالة (Codomain).
- مجموعة كل الصور الفعلية $\ar{\{d(s) : s \in s\}}$ تسمى مدى الدالة (Range)، وهو مجموعة جزئية من $\ar{y}$.
📊 مثال توضيحي (مثال 25 من الكتاب):
لتكن $\ar{s = \{s, x\}}$، $\ar{y = \{y, m, n\}}$.
- $\ar{d_1 = \{(s, y)\}}$: ليست دالة، (لماذا؟ العنصر '$\ar{x}$' من $\ar{s}$ لم يرتبط بأحد).
- $\ar{d_2 = \{(s, y), (s, m), (x, n)\}}$: ليست دالة، (لماذا؟ العنصر '$\ar{s}$' ارتبط بقيمتين مختلفتين '$\ar{y}$' و '$\ar{m}$').
- $\ar{d_3 = \{(s, n), (x, n)\}}$: دالة. (كل عنصر من $\ar{s}$ ارتبط، وكل واحد ارتبط بقيمة واحدة فقط).
- $\ar{d_4 = \{(s, m), (x, y)\}}$: دالة. (كل عنصر من $\ar{s}$ ارتبط، وكل واحد ارتبط بقيمة واحدة فقط).
🚀 الدالة... مفهوم بسيط لكنه قوي جداً!
قد يبدو درس اليوم مختصراً جداً مقارنة بأهمية الدوال. وهذا صحيح! ستعود للدوال بتعمق أكبر بكثير في الصف الثاني الثانوي لأنها أساس التفاضل والتكامل وكل الرياضيات المتقدمة تقريباً.
لكن لا تدع هذا يسبب لك الرهبة. تذكر دائماً الفكرة البسيطة: الدالة هي مجرد قاعدة ارتباط واضحة ومحددة بين مجموعتين. هذه الفكرة البسيطة ستجدها في كل مكان:
- في الفيزياء لوصف الحركة والتغير.
- في الهندسة لوصف الأشكال والتحويلات.
- في علوم الكمبيوتر كأساس للبرمجة والخوارزميات.
- في الإحصاء لتحليل البيانات والتنبؤ.
- حتى في العلوم الإنسانية والاجتماعية: يمكن نمذجة العلاقة بين سنوات التعليم ومتوسط الدخل كدالة، أو العلاقة بين الإنفاق على الإعلانات وحجم المبيعات كدالة.
فهمك للدوال اليوم، حتى بهذا الشكل المبسط، هو استثمار لمستقبلك بغض النظر عن التخصص الذي ستختاره.