قد يبدو مصطلح 'العلاقات الثنائية' مصطلحاً رياضياً معقداً، لكنه في الحقيقة يصف شيئاً نمارسه كل يوم بشكل بديهي.

نحن نعيش وسط شبكة من 'العلاقات':

• العلاقة بين الطالب وفصله (أحمد يدرس في فصل 'أولى أول').
• العلاقة بين المواطن ومدينته (فاطمة تسكن في طرابلس).
• العلاقة بين المنتج وسعره (الكتاب سعره 20 ديناراً).

كل هذه أمثلة على 'علاقات' تربط عنصراً من مجموعة (مثل مجموعة الطلبة) بعنصر من مجموعة أخرى (مثل مجموعة الفصول). كل ما سنفعله في هذا الدرس هو إعطاء لغة رسمية ودقيقة لهذه الفكرة البسيطة.

في الدرس السابق، تعلمنا 'الضرب الكارتيزي' ($\ar{a \times b}$)، والذي كان يمثل كل الاحتمالات الممكنة للأزواج (مثل: كل طالب مع كل فصل في المدرسة). أما 'العلاقة' فهي أذكى من ذلك؛ إنها تختار فقط الأزواج التي تحقق الشرط الذي نهتم به (مثل: الطالب وفصله الحقيقي فقط).

🔗 ما هي العلاقة إذن (رياضياً)؟

ببساطة، العلاقة ($\ar{x}$) من المجموعة $\ar{a}$ إلى المجموعة $\ar{b}$ هي أي مجموعة جزئية من حاصل الضرب الكارتيزي $\ar{a \times b}$. نختار فقط الأزواج المرتبة $\ar{(s, y)}$ التي تحقق القاعدة أو الشرط الذي يصف هذه العلاقة.

الرمز: نكتب $\ar{x: a \rightarrow b}$ للدلالة على أنها علاقة من $\ar{a}$ إلى $\ar{b}$.

التعريف: العلاقة $\ar{x = \{(s, y) : s \in a, y \in b, \transt{and they satisfy a certain condition}{ويحققان شرطاً معيناً}\}}$.

مثال ملموس:

لتكن $\ar{a = \{1, 2, 3\}}$ و $\ar{b = \{4, 5, 6\}}$.

لنعرف العلاقة $\ar{x}$ بالشرط التالي: '$\ar{y = s + 3}$'.

نبحث في $\ar{a \times b}$ عن الأزواج التي تحقق هذا الشرط:

• $\ar{(1, 4)}$ يحقق الشرط (لأن $\ar{4 = 1 + 3}$).
• $\ar{(2, 5)}$ يحقق الشرط (لأن $\ar{5 = 2 + 3}$).
• $\ar{(3, 6)}$ يحقق الشرط (لأن $\ar{6 = 3 + 3}$).

إذن، العلاقة $\ar{x = \{(1, 4), (2, 5), (3, 6)\}}$.

🚀 المدخل إلى الدوال (Functions):

هذا الدرس هو أهم مدخل لأحد أقوى المفاهيم في الرياضيات والعلوم: الدوال. الدالة، التي سندرسها بالتفصيل، ما هي إلا نوع خاص جداً من العلاقات. هي علاقة لها شرط إضافي دقيق (كل عنصر في النطاق يجب أن يرتبط بعنصر واحد فقط في المدى). فهمك للعلاقات اليوم هو الأساس الذي ستبني عليه فهمك للدوال غداً.

📈 طرق التعبير عن العلاقة:

1. طريقة القائمة: ذكر جميع الأزواج المرتبة: $\ar{x = \{(1, 4), (2, 5), (3, 6)\}}$.
2. طريقة الوصف (القاعدة): ذكر الشرط: $\ar{x = \{(s, y) : y = s + 3\}}$.
3. المخطط السهمي: رسم سهم من كل عنصر $\ar{s}$ في $\ar{a}$ إلى العنصر $\ar{y}$ في $\ar{b}$ المرتبط به.
4. التمثيل البياني: تمثيل الأزواج المرتبة كنقاط على المستوى الإحداثي.

🎯 مصطلحات مهمة:

• النطاق (Domain): هو مجموعة كل العناصر الأولى (المساقط السينية) في الأزواج المرتبة التي تنتمي للعلاقة. (في مثالنا، النطاق هو $\ar{\{1, 2, 3\}}$).
• المدى (Range): هو مجموعة كل العناصر الثانية (المساقط الصادية) في الأزواج المرتبة التي تنتمي للعلاقة. (في مثالنا، المدى هو $\ar{\{4, 5, 6\}}$).
• النطاق المصاحب (Codomain): هو المجموعة الثانية بأكملها ($\ar{b}$ في علاقة من $\ar{a}$ إلى $\ar{b}$). المدى يكون دائماً مجموعة جزئية من النطاق المصاحب.

↔️ العلاقة العكسية (Inverse Relation):

إذا كانت $\ar{x}$ علاقة من $\ar{a}$ إلى $\ar{b}$ (مثل: $\ar{s}$ 'ابن' $\ar{y}$)، فإن علاقتها العكسية $\ar{‎x^{-1}}$ هي علاقة من $\ar{b}$ إلى $\ar{a}$ (مثل: $\ar{y}$ 'والد' $\ar{s}$).

نحصل عليها بـ تبديل موضعي عنصري كل زوج مرتب في $\ar{x}$.

مثال: إذا كانت $\ar{x = \{(1, 4), (2, 5)\}}$. فإن $\ar{‎x^{-1} = \{(4, 1), (5, 2)\}}$.

ملاحظة هامة: $\ar{\transt{Domain of}{نطاق } ‎x^{-1} = \transt{Range of}{مدى } x}$، و $\ar{\transt{Range of}{مدى } ‎x^{-1} = \transt{Domain of}{نطاق } x}$.