لقد تعلمنا كيف نجمع المجموعات (الاتحاد $\ar{\cup}$) وكيف نجد العناصر المشتركة (التقاطع $\ar{\cap}$).

الآن، سنتعلم طريقة جديدة تماماً لدمج مجموعتين، وهي طريقة تكوين "الأزواج المرتبة" من عناصرهما. هذه العملية لها اسم خاص: "الضرب الكارتيزي" (أو الديكارتي، نسبةً إلى العالم رينيه ديكارت).

🤝 مراجعة: الأزواج المرتبة

هل تتذكر "الثنائيات المرتبة" $\ar{(s, y)}$؟ لقد استخدمتها سابقاً لتمثيل النقاط على المستوى الإحداثي (المحور السيني والصادي).

النقطة $\ar{(2, 3)}$ تختلف عن النقطة $\ar{(3, 2)}$، وهذا يعني أن الترتيب مهم جداً في الثنائيات المرتبة.

🎯 ما هو الضرب الكارتيزي إذن؟

ببساطة، هو عملية تكوين كل الثنائيات المرتبة الممكنة بأخذ العنصر الأول من المجموعة الأولى والعنصر الثاني من المجموعة الثانية.

• الرمز: نرمز للضرب الكارتيزي للمجموعة $\ar{A}$ والمجموعة $\ar{B}$ بالرمز $\ar{A \times B}$.
• التعريف: (تُقرأ: مجموعة كل الأزواج المرتبة $\ar{(s, y)}$ بحيث $\ar{s}$ ينتمي إلى $\ar{A}$، و $\ar{y}$ ينتمي إلى $\ar{B}$).

$$ \ar{A \times B = \{(s, y) : s \in A, y \in B\}} $$

💡 مثال بسيط

إذا كانت $\ar{A = \{1, 2\}}$ و $\ar{B = \{a, b\}}$

فإن $\ar{A \times B = \{(1, a), (1, b), (2, a), (2, b)\}}$.

📝 ملاحظات هامة جداً

• الترتيب مهم: $\ar{A \times B}$ لا تساوي $\ar{B \times A}$ بشكل عام. (جرب حساب $\ar{B \times A}$ للمثال السابق!).
• عدد العناصر: إذا كان عدد عناصر $\ar{A}$ هو $\ar{n(A)}$ وعدد عناصر $\ar{B}$ هو $\ar{n(B)}$، فإن عدد عناصر $\ar{A \times B}$ هو $\ar{n(A) \times n(B)}$.
• الضرب في المجموعة الخالية: $\ar{A \times \emptyset = \emptyset}$ و $\ar{\emptyset \times B = \emptyset}$.
• ضرب المجموعة في نفسها: $\ar{A \times A}$ (وتكتب أيضاً $\ar{‎A^2}$) هي مجموعة كل الأزواج المرتبة التي يمكن تكوينها من عناصر $\ar{A}$.

🚀 لماذا نتعلم هذا؟

الضرب الكارتيزي هو أساس مفهوم "العلاقات" و "الدوال" الذي سندرسه لاحقاً. كما أنه يستخدم بكثرة في علوم الكمبيوتر (لتكوين تركيبات ممكنة) وفي الإحصاء والاحتمالات وفي تمثيل البيانات متعددة الأبعاد.

تخيل مثلاً مجموعة أنواع القمصان ومجموعة ألوان البناطيل؛ الضرب الكارتيزي يعطيك كل التنسيقات الممكنة بينهما!