لقد تعلمنا في الدروس السابقة 'لغة' المجموعات (الرموز والتعاريف)، 'وأفعالها' (العمليات)، وحتى 'قواعد نحوها' (القوانين الأساسية). الآن، سنستخدم هذه القواعد بشكل يشبه تماماً ما نفعله في الجبر مع الأرقام والمتغيرات، وهذا ما يسمى 'جبر المجموعات'.

🎯 ما الهدف؟

بدلاً من رسم أشكال فن أو إنشاء جداول انتماء طويلة لإثبات صحة علاقة بين مجموعات (خاصة إذا كانت معقدة)، يمكننا استخدام القوانين التي نعرفها (مثل التوزيع، دي مورجان، التكميل...) كأنها قواعد جبرية لننتقل خطوة بخطوة من طرف في العلاقة حتى نصل إلى الطرف الآخر. إنها طريقة أكثر منهجية وتعتمد على المنطق والاستنتاج.

⚙️ كيف نستخدم جبر المجموعات؟

هناك طريقتان رئيسيتان:

1. استخدام قوانين العمليات مباشرة:

• نبدأ بأحد طرفي العلاقة المراد إثباتها.
• في كل خطوة، نطبق أحد قوانين المجموعات (التبديل، التنسيق، التوزيع، دي مورجان، التحييد، التكميل...) لتبسيط التعبير أو تغييره.
• نستمر في هذه العملية حتى نصل إلى نفس شكل الطرف الآخر من العلاقة.
• مهم جداً: يجب ذكر اسم القانون المستخدم في كل خطوة لتوضيح المنطق. (تماماً كما تبرر خطواتك في حل معادلة جبرية).

2. استخدام الفرض (طريقة الاحتواء المزدوج):

هذه الطريقة أعمق وتستخدم لإثبات تساوي مجموعتين (مثلاً: لإثبات $\ar{s = t}$).

• تعتمد على إثبات شيئين:
  1. أن $\ar{s}$ مجموعة جزئية من $\ar{t}$ ($\ar{s \subseteq t}$). ونثبت ذلك بأن نفرض عنصراً اختيارياً $\ar{x}$ ينتمي إلى $\ar{s}$ ($\ar{x \in s}$)، ثم نستخدم تعريف العمليات والقوانين لنستنتج أن هذا العنصر $\ar{x}$ يجب أن ينتمي أيضاً إلى $\ar{t}$ ($\ar{x \in t}$).
  2. أن $\ar{t}$ مجموعة جزئية من $\ar{s}$ ($\ar{t \subseteq s}$). ونثبت ذلك بالعكس: نفرض عنصراً $\ar{k}$ ينتمي إلى $\ar{t}$ ($\ar{k \in t}$)، ونستنتج أنه يجب أن ينتمي أيضاً إلى $\ar{s}$ ($\ar{k \in s}$).
• إذا أثبتنا الاحتواء في الاتجاهين ($\ar{s \subseteq t}$ و $\ar{t \subseteq s}$)، فهذا يعني بالضرورة أن المجموعتين متساويتان ($\ar{s = t}$).

🎓 لماذا نتعلم هذا؟

جبر المجموعات هو الأساس الرياضي الذي تعمل به لغات الاستعلام في قواعد البيانات (مثل SQL) والدوائر المنطقية في تصميم الكمبيوتر. القدرة على التعامل مع المجموعات وعلاقاتها بشكل جبري هي مهارة أساسية في علوم الحاسوب والإحصاء والرياضيات المتقدمة.