هل فكرت يوماً كيف ينظم عقلنا العالم من حولنا؟ نحن نضع كل شيء في "مجموعات" بشكل طبيعي. لديك مجموعة أصدقائك، ومجموعة موادك الدراسية المفضلة، ومجموعة الألوان التي تحبها.

الرياضيات تأخذ هذه الفكرة البسيطة وتحولها إلى أداة قوية جداً اسمها "المجموعة". الغاية من دراسة المجموعات هي أنها حجر الأساس في عالم الرياضيات والمنطق الحديث. من خلالها، نتعلم كيف نفكر بوضوح ودقة، وكيف نصنف الأشياء بناءً على قواعد محددة. هذا المفهوم ليس مجرد فكرة نظرية، بل هو أساس عمل أجهزة الكمبيوتر وقواعد البيانات ومحركات البحث!

في هذا الدرس، سننتقل من هذه الأمثلة الملموسة إلى المفاهيم المجردة التي تمنحنا القوة للتعبير عن أي فكرة رياضية بوضوح.

🤔 1-1: مفهوم المجموعة (Set)

المجموعة هي تجمع من الأشياء المحددة تحديداً واضحاً، وتسمى هذه الأشياء عناصر المجموعة.

• طريقة القائمة (الحصر): كتابة جميع العناصر بين قوسين $ \ar{\{ \}} $، وفاصلة عربية (،) بين العناصر مثل: $ \ar{A = \{1, 2, 3\}} $.
• طريقة الوصف (القاعدة): كتابة صفة مشتركة للعناصر، مثل: $ \ar{B = \{s: s \transt{}{ عدد طبيعي أصغر من 4 }\}} $.
• المجموعة المنتهية وغير المنتهية: تكون المجموعة منتهية إذا أمكن حصر عناصرها، وغير منتهية إذا لم يمكن ذلك.
• المجموعة الخالية ($ \ar{\emptyset} $) أو $ \ar{\{ \}} $: هي المجموعة التي لا تحتوي على أي عنصر.

🔗 1-1-1: الانتماء وعدم الانتماء

هنا نعبر عن علاقة عناصر بمجموعته.

• الرمز $ \ar{\in} $ يعني "ينتمي إلى". مثال: $ \ar{3 \in \{1, 2, 3\}} $.
• الرمز $ \ar{\notin} $ يعني "لا ينتمي إلى". مثال: $ \ar{4 \notin \{1, 2, 3\}} $.

🔁 1-1-2: المجموعات المتساوية والمتكافئة

• المجموعات المتكافئة (Equivalent Sets): مجموعتان لهما نفس العدد من العناصر.
  مثال: $ \ar{A = \{1, 2, 3\}} $ و $ \ar{B = \{a, b, c\}} $ هما مجموعتان متكافئتان.
• المجموعات المتساوية (Equal Sets): مجموعتان لهما نفس العناصر بالضبط (بغض النظر عن الترتيب).
  مثال: $ \ar{S = \{1, 2, 3\}} $ و $ \ar{Y = \{3, 1, 2\}} $ هما مجموعتان متساويتان.

ملاحظة: كل مجموعتين متساويتين هما متكافئتان أيضاً، ولكن العكس ليس صحيحاً دائماً.

🧩 1-1-3: المجموعات الجزئية (Subsets)

هنا نعبر عن علاقة مجموعة بمجموعة أكبر تحتويها. نقول إن (أ) مجموعة جزئية من (ب) إذا كان كل عنصر في (أ) موجوداً أيضاً في (ب).

• يرمز لها بالرمز $ \ar{\subset} $. مثال: $ \ar{\{1, 2\} \subset \{1, 2, 3\}} $.
• إذا كانت (أ) جزئية من (ب) ولكن $ \ar{A \neq B} $، نقول إن (أ) مجموعة جزئية فعلية من (ب) ويرمز لها أحياناً $ \ar{\subsetneq} $.
• ملاحظتان هامتان: المجموعة الخالية $ \ar{\emptyset} $ جزئية من أي مجموعة، وكل مجموعة جزئية من نفسها ($ \ar{A \subset A} $).

🌌 1-1-4: المجموعة الشاملة (Universal Set)

هي "المجموعة الأم" التي تحتوي على جميع العناصر والمجموعات في مسألة معينة. يرمز لها بالرمز ش.