الباب الخامس: التغير
الدرس 5-3: التغير العكسي (Inverse Variation)
🔄 عندما نسير في "اتجاهين متعاكسين"
تخيل أنك تسافر لمدينة بعيدة. كلما زادت سرعة سيارتك، قلّ الزمن اللازم للوصول. زيادة في جانب تقابلها نقصان في الجانب الآخر. هذا هو جوهر التغير العكسي: علاقة "ضدية" بين متغيرين، إذا صعد أحدهما نزل الآخر.
📚 المفهوم الرياضي:
نقول إن $\ar{y}$ تتغير عكسياً مع $\ar{x}$ إذا كان حاصل ضربهما يساوي مقداراً ثابتاً دائماً.
- 🔹 رمز التناسب: نكتب $\ar{y \propto \frac{1}{x}}$.
- 🔹 معادلة التغير: نكتب $\ar{y = \frac{k}{x}}$ أو بصيغة أجمل $\ar{xy = k}$.
- 🔹 الثابت ($\ar{k}$): هو حاصل ضرب المتغيرين، $\ar{k = x \times y}$.
📊 كيف يختلف الرسم البياني؟
على عكس التغير الطردي (الخط المستقيم)، فإن بيان التغير العكسي هو منحنى (قطع زائد) لا يمر أبداً بنقطة الأصل ولا يلمس المحورين $\ar{x}$ أو $\ar{y}$. إنه يقترب منهما فقط دون تلامس.
🧮 أمثلة تطبيقية:
مثال 1: إذا كانت $\ar{y}$ تتغير عكسياً مع $\ar{x}$، وكان $\ar{y = 4}$ عندما $\ar{x = 3}$. أوجد المعادلة وقيمة $\ar{y}$ عندما $\ar{x = 6}$.
1. نوجد الثابت: $\ar{k = x \times y = 3 \times 4 = 12}$.
2. المعادلة هي: $\ar{xy = 12}$ أو $\ar{y = \frac{12}{x}}$.
3. عندما $\ar{x = 6}$: $\ar{y = \frac{12}{6} = 2}$.
مثال 2 (مع التربيع): إذا كانت $\ar{y}$ تتغير عكسياً مع مربع $\ar{x}$ ($\ar{y \propto \frac{1}{x^2}}$). إذا كانت $\ar{y = 2}$ عندما $\ar{x = 4}$، أوجد $\ar{k}$.
الحل: المعادلة هي $\ar{y = \frac{k}{x^2}}$.
$\ar{k = y \times x^2 = 2 \times (4)^2 = 2 \times 16 = 32}$.
🔌 قانون بويل (Boyle's Law):
في الفيزياء، أشهر مثال للتغير العكسي هو قانون بويل للغازات: "ضغط الغاز ($\ar{P}$) يتناسب عكسياً مع حجمه ($\ar{V}$) عند ثبوت درجة الحرارة".
المعادلة هي: $\ar{P \times V = k}$.
كلما ضغطت الغاز (قللت الحجم)، زاد الضغط بداخله!