الباب الخامس: التغير

الدرس 5-2: أشكال أخرى للتغير الطردي

🤔 هل التغير الطردي دائماً خطي؟

لقد تعلمنا أن "طردي" تعني التبعية؛ إذا زاد الأول زاد الثاني. ولكن هل هذه الزيادة دائماً بنفس القوة؟ فكر في مساحة الدائرة؛ إذا ضاعفت نصف القطر $\ar{r}$ مرتين، هل تزيد المساحة مرتين فقط؟ الرياضيات تخبرنا أن المساحة ستزيد 4 مرات! هذا لأن التغير هنا يتبع "مربع" نصف القطر. في هذا الدرس، سنرى كيف يطارد المتغير $\ar{y}$ قوى المتغير $\ar{x}$.

📚 صور التغير الطردي غير الخطي:

لا يقتصر التغير على $\ar{x}$ فقط، بل يمكن أن يكون مع قوتها أو جذرها:

• التغير مع المربع: نكتب $\ar{y \propto x^2}$ والمعادلة هي $\ar{y = kx^2}$.
• التغير مع المكعب: نكتب $\ar{y \propto x^3}$ والمعادلة هي $\ar{y = kx^3}$.
• التغير مع الجذر التربيعي: نكتب $\ar{y \propto \sqrt{x}}$ والمعادلة هي $\ar{y = k\sqrt{x}}$.

💡 القاعدة العامة:

$$\ar{y = kx^n}$$

حيث $\ar{n}$ هو أي عدد حقيقي موجب، و $\ar{k}$ هو ثابت التغير.

🧮 مثال (التغير مع المربع):

إذا كانت $\ar{y}$ تتغير طردياً مع $\ar{‎ x^2}$، وكانت $\ar{y = 18}$ عندما $\ar{x = 3}$. أوجد $\ar{y}$ عندما $\ar{x = 5}$.

الحل:

1. صياغة المعادلة: $\ar{y = kx^2}$

2. إيجاد الثابت $\ar{k}$: $$\ar{18 = k(3)^2 \implies 18 = 9k \implies k = 2}$$

3. إيجاد القيمة المجهولة: $$\ar{y = 2(5)^2 = 2 \times 25 = 50}$$

🌍 الواقع غير الخطي:

في الفيزياء، الطاقة الحركية للسيارة تتغير طردياً مع مربع سرعتها. هذا يعني أن مضاعفة السرعة مرتين تجعل قوة التصادم تزيد 4 مرات! فهمك لهذه العلاقات "غير الخطية" هو ما يجعلك تتخذ قرارات أكثر ذكاءً وأماناً في حياتك الواقعية.