الباب الخامس: التغير
الدرس 5-1: التغير الطردي (Direct Variation)
💡 هل كلمة "طردي" جديدة عليك؟
قد تظن أن "طردي" تعني الإبعاد، لكن في الرياضيات لها معنى بسيط وبديهي؛ فهي تأتي من "المطاردة" أو التبعية. تخيل أن $\ar{y}$ يطارد $\ar{x}$ كالظل؛ إذا زاد $\ar{x}$ يتبعه $\ar{y}$ بالزيادة فوراً وبنفس النسبة، وإذا نقص يتبعه بالنقصان. إنهما يتحركان معاً بتناغم ثابت.
📚 القاعدة الرياضية:
نقول إن $\ar{y}$ تتغير طردياً مع $\ar{x}$ إذا كانت النسبة بينهما تعطي دائماً نفس العدد الثابت.
- 🔹 رمز التناسب: نكتب $\ar{y \text{\propto} x}$.
- 🔹 معادلة التغير: نكتب $\ar{y = kx}$.
- 🔹 الثابت ($\ar{k}$): هو الرابط الذي يحافظ على النسبة بينهما، حيث $\ar{k = \frac{y}{x}}$.
📊 كيف يظهر التغير الطردي بيانياً؟
بيان العلاقة الطردية هو دائماً خط مستقيم يمر بنقطة الأصل $\ar{(0, 0)}$. ميل هذا الخط هو نفسه ثابت التغير $\ar{k}$.
🧮 أمثلة تطبيقية:
مثال 1: إذا كان $\ar{y \text{\propto} x}$، وكان $\ar{y = 12}$ عندما $\ar{x = 3}$. أوجد ثابت التغير $\ar{k}$ والمعادلة.
الحل: $\ar{k = \frac{y}{x} = \frac{12}{3} = 4}$.
إذن المعادلة هي: $\ar{y = 4x}$.
مثال 2: تتغير $\ar{y}$ طردياً مع مربع $\ar{x}$ (أي $\ar{y \text{\propto} \u200e x^2}$). إذا كانت $\ar{y = 20}$ عندما $\ar{x = 2}$، أوجد $\ar{y}$ عندما $\ar{x = 5}$.
الحل: نجد $\ar{k}$ أولاً: $\ar{20 = k(2)^2 \implies 20 = 4k \implies k = 5}$.
عندما $\ar{x = 5}$: $\ar{y = 5(5)^2 = 5 \times 25 = 125}$.
🔌 في عالم الفيزياء:
القوانين الفيزيائية تحب التغير الطردي! فمثلاً، سرعة الجسم المتحرك تتناسب طردياً مع المسافة التي يقطعها (إذا كان الزمن ثابتاً). كلما زادت سرعتك، قطعت مسافة أطول بنفس النسبة. هذا المفهوم البديهي هو أساس فهمنا للحركة والكون من حولنا.