الدرس 1-3: بعض العلاقات المثلثية المفيدة
🤝 الفيزياء والرياضيات: في هذا الدرس، سنستخدم بعض "الأدوات الرياضية" من حساب المثلثات لتبسيط حل مسائل الميكانيكا المعقدة، بدلاً من الغرق في حسابات طويلة. هذه العلاقات درستها في الرياضيات، وهنا سنرى تطبيقها العملي.
1. الزوايا المتممة (Complementary Angles)
عندما نحلل قوة، قد تكون الزاوية المعطاة مع المحور العمودي بدلاً من الأفقي. تذكر أن جيب زاوية يساوي جيب تمام متممتها:
[رسم توضيحي: مثلث قائم الزاوية يوضح الزاوية $\theta$ مع محور والزاوية المتممة $(90-\theta)$ مع المحور الآخر، لتوضيح العلاقة بينهما]
تطبيق: إذا كانت القوة تصنع زاوية $30^\circ$ مع الرأسي، فإن مركبتها الأفقية هي $F \sin 30$ وهي تكافئ تماماً $F \cos 60$.
2. الزوايا المنفرجة (Obtuse Angles)
عند التعامل مع زاوية أكبر من $90^\circ$ (في الربع الثاني)، تتغير إشارات الدوال المثلثية:
[رسم توضيحي: دائرة الوحدة ومحاور الإحداثيات، يظهر متجه في الربع الثاني (زاوية منفرجة)، مع توضيح أن الإسقاط على محور السينات سالب والإسقاط على محور الصادات موجب]
- الجيب ($\sin$): يظل موجباً في الربع الثاني (مثل المركبة الرأسية لقوة مائلة لأعلى).
- جيب التمام ($\cos$): يصبح سالباً في الربع الثاني (مثل المركبة الأفقية لقوة تتجه لليسار).
3. استخدام الظل للاختصار (The Tangent Technique)
هذه الأداة فعالة جداً لاختصار الحل. عندما يكون الجسم متزناً، غالباً ما نحصل على معادلتين، إحداهما تحتوي على $\sin$ والأخرى على $\cos$.
بدلاً من التعويض، نقسم المعادلتين على بعضهما:
تطبيق عملي (إعادة حل مثال الأرجوحة):
[رسم توضيحي: مخطط الجسم الحر للطفلة في الأرجوحة، يظهر قوة الشد $T$ مائلة بزاوية 20 مع الرأسي، والقوة الأفقية $F$، والوزن 90 نيوتن لأسفل]
كانت لدينا معادلتان:
- $T \sin 20^\circ = F$ (أفقياً)
- $T \cos 20^\circ = 90$ (رأسياً)
بقسمة المعادلة (1) على المعادلة (2):
النتيجة: وجدنا القوة $F$ مباشرة دون الحاجة لحساب الشد $T$ أولاً.